物理

引言 在电学领域中，LC电磁振荡电路被认为是一种经典而重要的系统。本文试图通过一种探索性的方式推导该电路的周期性特征，作为学生，我们希望通过这个尝试为读者提供一个简明而清晰的探索视角。在剖析电荷、电流和电场等基本物理量的数学建模过程中，我们将尝试揭示LC电路中电磁振荡频率与电路元件参数之间的关系。 电路模型 为了开始我们的推导，我们首先需要考虑LC电磁振荡电路的基本模型，如下图所示 这个LC电磁振荡电路图展示了一个基本的电磁振荡系统，由电感线圈（L）和电容器（C）组成。当开关K与1连接时，电容器C将开始充电，充电完成后将开关K转向2号位点，左侧的LC电磁振荡电路将产生周期性电流，其周期为 $$ T=2\pi\sqrt{LC} $$ 公式证明 探索初期，由于作者对电感线圈的相关物理模型知之甚少，因此我们选择首先从电容器的角度进行推导。 根据电容器的电容公式 $C=\frac{Q}{U}$ ，我们有 $$ Q=CU $$ 其中$Q$为电容器的电荷量，$U$为电容器两极板间的电势差。 那么当经过极短时间 $\mathrm{d}x$ ，可得瞬时电流大小为 $$ I=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=Q^\prime $$ 由电感线圈的自感电动势公式，我们有 $$ \begin{aligned} E&=L\cdot\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \\ &=L\cdot I^\prime \\ &=L\cdot Q^{\prime\prime} \\ \end{aligned} $$ 考虑到自感线圈的感抗效果，其自感电动势应当与电容器$C$两极板间的电势差相反，故有 $$ E+U=0 $$ 此处严谨化的等式建立应当使用基尔霍夫电压定律进行推导。 带入上述$E$和$U$可得 $$ L\cdot Q^{\prime\prime}+\frac{Q}{C}=0 $$ 即 $$ LC\cdot Q^{\prime\prime}+Q=0 $$ 这便是我们最终需要解决的微分方程了，我们将尝试对其进行求解。 微分方程求解 求解初期，在和同学的讨论中我们选择了换元法进行求解，具体步骤如下 $$ \frac{\mathrm{d^2}Q}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{1}{LC}Q $$ 考虑到 $\frac{\mathrm{d^2}Q}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}Q^\prime}{\mathrm{d}t}$ 且 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=Q^\prime$ ，我们可以得到 $$ Q^\prime\mathrm{d}Q^\prime=-\frac{1}{LC}Q\mathrm{d}Q $$ 两边同时积分可得 $$ \int Q^\prime\mathrm{d}Q^\prime=\int-\frac{1}{LC}Q\mathrm{d}Q $$...