数学

引言 在计算机科学中，哈希函数被广泛应用于各种场景，如数据结构、数据库和密码学等。在这篇文章中，我们将探讨一种特殊的哈希函数，它可以对组合问题进行连续性编号。这种哈希函数的应用场景包括但不限于：解决算法问题、优化存储空间等。 对于排列数的编号和排序问题，我们可以使用康托展开。康托展开是一种把无限维的点映射到一维的方法，它可以将一个全排列映射到一个自然数，从而实现了对数据的唯一标识。 例如对于 $1,2,3,4,5,6$ 这六个数字的全排列共 $A_6^6=720$ 个，我们可以从小到大对它们进行排序并编号： $$ 123456 \rightarrow 0 \\ 123465 \rightarrow 1 \\ 123546 \rightarrow 2 \\ … $$ 这样，我们就可以通过 $0,1,2,…,719$ 这720个数字来唯一标识这 $A_6^6$ 个排列。 然而，对于组合数的问题，例如对于六个元素中挑选三个的 $C_6^3=20$ 个组合数，我们无法通过上述方法进行排序和编号。 下面我们将尝试探究一种新的哈希函数，它可以对 $C_X^N$ 的组合数进行连续性编号。 问题呈现 我对该问题的研究起初源自于HDU 1401 “Solitaire"算法题： HDU 1401 Solitaire 时间限制：1000ms | 内存限制：65536kB 题目描述： 给定一个8×8的棋盘，存在四颗相同棋子。每个棋子可以跳向上下左右四个方向的格子。如果格子上有棋子，可以跳过该棋子（最多跳一个），并且保证不跳出边界。给出两个状态，每个状态包含四个棋子的坐标。问在4步之内能否从第一个状态到达第二个状态。 对此问题，在进行广度优先搜索时，我们便可以使用哈希函数对棋盘状态进行编号，从而实现对状态是否已经查询的快速判断。 一个最直观也最常规的解决方案是将四颗棋子的坐标合并为一个八位数作为棋盘状态的唯一标识。 例如，对于棋盘状态 $13245768$，我们可以将其解释为 $(1,3)$ $(2,4)$ $(5,7)$ $(3,6)$ 这四个棋子的坐标。 但我们今天要讨论的是连续性编号问题，对于总共 $C_{64}^4=635376$ 个棋盘状态，我们该如何将其与 $0,1,2…,635375$ 这635376个数字一一对应呢？ 下面我给出了两种思路进行方案推导和问题解决。 解决方案 我们首先定义一下该哈希函数的参数和返回值：传入一个bool[]序列seq （后文将对此详细说明），返回一个long long整数编号。其中，seq中"1"的序列和个数 $N$ 就决定了该seq在组合数 $C_X^N$ 中的位置编号。C++定义如下 long long hash_seq(bool seq[], int len) // 静态数组传入 long long hash_seq(vector<bool> seq) // 动态数组传入 实现思路 我们可以将 $C_X^N$ 中的任意一项组合方式定义为一个二进制序列。例如对于 $C_6^3=20$ 个组合，我们可以将其表示为...

引言 在电学领域中，LC电磁振荡电路被认为是一种经典而重要的系统。本文试图通过一种探索性的方式推导该电路的周期性特征，作为学生，我们希望通过这个尝试为读者提供一个简明而清晰的探索视角。在剖析电荷、电流和电场等基本物理量的数学建模过程中，我们将尝试揭示LC电路中电磁振荡频率与电路元件参数之间的关系。 电路模型 为了开始我们的推导，我们首先需要考虑LC电磁振荡电路的基本模型，如下图所示 这个LC电磁振荡电路图展示了一个基本的电磁振荡系统，由电感线圈（L）和电容器（C）组成。当开关K与1连接时，电容器C将开始充电，充电完成后将开关K转向2号位点，左侧的LC电磁振荡电路将产生周期性电流，其周期为 $$ T=2\pi\sqrt{LC} $$ 公式证明 探索初期，由于作者对电感线圈的相关物理模型知之甚少，因此我们选择首先从电容器的角度进行推导。 根据电容器的电容公式 $C=\frac{Q}{U}$ ，我们有 $$ Q=CU $$ 其中$Q$为电容器的电荷量，$U$为电容器两极板间的电势差。 那么当经过极短时间 $\mathrm{d}x$ ，可得瞬时电流大小为 $$ I=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=Q^\prime $$ 由电感线圈的自感电动势公式，我们有 $$ \begin{aligned} E&=L\cdot\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \\ &=L\cdot I^\prime \\ &=L\cdot Q^{\prime\prime} \\ \end{aligned} $$ 考虑到自感线圈的感抗效果，其自感电动势应当与电容器$C$两极板间的电势差相反，故有 $$ E+U=0 $$ 此处严谨化的等式建立应当使用基尔霍夫电压定律进行推导。 带入上述$E$和$U$可得 $$ L\cdot Q^{\prime\prime}+\frac{Q}{C}=0 $$ 即 $$ LC\cdot Q^{\prime\prime}+Q=0 $$ 这便是我们最终需要解决的微分方程了，我们将尝试对其进行求解。 微分方程求解 求解初期，在和同学的讨论中我们选择了换元法进行求解，具体步骤如下 $$ \frac{\mathrm{d^2}Q}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{1}{LC}Q $$ 考虑到 $\frac{\mathrm{d^2}Q}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}Q^\prime}{\mathrm{d}t}$ 且 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=Q^\prime$ ，我们可以得到 $$ Q^\prime\mathrm{d}Q^\prime=-\frac{1}{LC}Q\mathrm{d}Q $$ 两边同时积分可得 $$ \int Q^\prime\mathrm{d}Q^\prime=\int-\frac{1}{LC}Q\mathrm{d}Q $$...

引言 在数学和计算机科学中，组合数是一个基本概念，它表示从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个元素的组合方式的总数。组合数的计算在许多领域都有应用，如统计学、概率论、编码理论等。本文将介绍两种计算组合数的算法，并比较它们的复杂度和优劣。 循环法 利用组合数的性质 $C_n^k=\frac{n}{k}C_{n-1}^{k-1}$，我们可以通过循环来计算组合数。 数学推导 这个性质的数学推导基于组合数的定义： $$ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} $$ 通过简化，我们得到： $$ C_n^k=\frac{n}{k}\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=\frac{n}{k}C_{n-1}^{k-1} $$ C++代码实现 long long combination(int n, int k) { long long result = 1; for (int i = 1; i <= k; ++i) { result *= n - i + 1; result /= i; } return result; } 复杂度分析 这种方法的时间复杂度为 $O(k)$，空间复杂度为 $O(1)$。它的优点是实现简单，但当 $k$ 值较大时，中间结果可能会超出整数类型的范围。 动态规划法 另一种计算组合数的方法是利用递推关系 $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ 来动态规划计算。 数学推导 这个递推关系可以从组合数的定义直接推导出来： $$ \begin{aligned} C_n^k&=\frac{n!}{k!(n-k)!} \\ &= \frac{(n-1)!...